Pregunta 2b

Una empresa fabrica bicicletes convencionals i elèctriques. El responsable de qualitat de l’empresa ha mirat l’historial de vendes i ha calculat que el $5\,\%$ de les bicicletes convencionals havien tingut algun tipus de problema que n’havia requerit una revisió postvenda. En el cas de les bicicletes elèctriques, aquest percentatge era del $15\,\%$. Actualment, el $25\,\%$ de la producció és de bicicletes convencionals i el $75\,\%$, de bicicletes elèctriques.

b) El responsable de qualitat creu que la dada segons la qual un $15\,\%$ de bicicletes elèctriques tenen algun problema que requereix el servei postvenda ha quedat desfasada. Considera que actualment tant la tecnologia com els controls de qualitat previs han millorat molt i aquesta proporció ha disminuït. Per a comprovar-ho, pren una mostra de $100$ bicicletes elèctriques que ha venut en els darrers mesos i observa que només $8$ han requerit una revisió postvenda.

A partir d’aquestes dades, trobeu un interval de confiança del $95\,\%$ per a la proporció de bicicletes elèctriques que tenen algun problema i requereixen una revisió postvenda. A partir del resultat obtingut, podem afirmar que aquesta proporció ha disminuït?

Fórmules per a resoldre l’exercici:

$Z \sim \mathrm{normal}(0, 1) \rightarrow P(-1{,}96 \le Z \le 1{,}96) = 0{,}95$ i $P(-2{,}58 \le Z \le 2{,}58) = 0{,}99$

Intervals de confiança amb un nivell de confiança $\gamma \in (0, 1)$:

— per a la proporció (mostres grans): $\left[\hat{p} - z_{\gamma}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}, \hat{p} + z_{\gamma}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}\right]$

— per a la mitjana (mostres normals amb la variància $\sigma^2$ coneguda): $\left[\bar{x} - z_{\gamma}\sigma/\sqrt{n}, \bar{x} + z_{\gamma}\sigma/\sqrt{n}\right]$

— per a la mitjana (mostres grans amb la variància $\sigma^2$ desconeguda): $\left[\bar{x} - z_{\gamma}s/\sqrt{n}, \bar{x} + z_{\gamma}s/\sqrt{n}\right]$