Pregunta 6b

PAU 2022 · Juny · Sèrie 5

Pregunta oberta

La columna de l'esquerra de la taula següent mostra l'esquema d'un programa informàtic que s'ha elaborat per a trobar solucions aproximades d'una equació f(x) = 0 en un interval (a, b), sabent que f(a)·f(b) < 0. La columna de la dreta recull un exemple de funcionament del programa en què es pot veure com actuaria per trobar una solució de l'equació x + ln(x) = 0 entre els valors a = 0,5 i b = 2.

[Taula amb dues columnes: "Esquema del programa" i "Exemple"]

Escriure «Introduïu un valor a» → L'usuari introdueix a = 0,5
Escriure «Introduïu un valor b» → L'usuari introdueix b = 2
Escriure «Introduïu una funció f(x)» → L'usuari introdueix f(x) = x + ln(x)
Calcular c = (a + b)/2 → El programa calcula la mitjana entre a i b i li assigna el nom c = (0,5 + 2)/2 = 1,25
Si f(a) * f(c) < 0, aleshores reassignar b = c; en cas contrari, reassignar a = c → El programa comprova que f(0,5) * f(1,25) = (0,5 + ln(0,5)) * (1,25 + ln(1,25)) < 0; per tant, reassigna b = 1,25
Repetir els passos 4 i 5 tants cops com faci falta fins que f(a) − f(b) < 0,00000001 → El programa va repetint la comprovació anterior, canviant cada vegada els valors de a o de b:
inici: a = 0,5, b = 2
iteració 1: a = 0,5, b = 1,25
iteració 2: a = 0,5, b = 0,875
iteració 3: a = 0,5, b = 0,6875
iteració 4: a = 0,5, b = 0,59375
iteració 5: a = 0,546875, b = 0,59375
iteració 6: a = 0,546875, b = 0,5703125
iteració 7: a = 0,55859375, b = 0,5703125
[...]
Quan f(a) − f(b) < 0,00000001, escriure: «La solució de l'equació és c» i aturar el programa → Després d'unes 30 iteracions, el programa escriu: «La solució de l'equació és 0,56714329»

La columna de l'esquerra de la taula següent mostra l'esquema d'un programa informàtic que s'ha elaborat per a trobar solucions aproximades d'una equació $f(x) = 0$ en un interval $(a, b)$ , sabent que $f(a) \cdot f(b) < 0$ (esquema i exemple del programa com a l'apartat a).

b) Volem aplicar aquest programa per a trobar les tres arrels de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ amb valors de $a$ i $b$ diferents. Trobeu justificadament entre quins valors $a$ i $b$ , per a cada arrel, hem d'aplicar el programa per a trobar aproximacions de cadascuna de les tres arrels de la funció.

1,25 punts

Font oficial: examen en PDF (Generalitat de Catalunya) · descarregat el 8 de setembre de 2026.

Com funciona Repàs PAU

Tria l’assignatura

Escull com practicar

Resol i comprova

Consolida el progrés

Pregunta 6b